Observa los
siguientes patrones:
Depósito de zinc en
una cuba electrolítica
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Digitación viscosa
por inyección
de agua en aceite
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Figura de Lichtenberg
(descarga eléctrica)
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Crecimiento de una colonia
de bacterias
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A pesar de las diferencias, tanto
en la forma como en el proceso que las genera, las cuatro figuras anteriores
muestran similaridades. Lo sorprendente es que semejantes formas puedan
obtenerse bajo el mismo modelo matemático. Leonard M. Sander y Thomas
A. Witten III propusieron en 1981 un mecanismo de formación de objetos
fractales que denominaron agregación por difusión limitada
(DLA). Determinados fractales que aparecen en la naturaleza son producto
de un proceso de crecimiento desordenado e irreversible. La dimensión
fractal de un objeto material es un exponente universal en el sentido de
que es independiente de muchos de los detalles de formación del
objeto. La dimensión fractal está relacionada, al igual que
otros exponentes universales, con el comportamiento a muchas escalas, donde
los detalles particulares pierden relevancia como resultado de las sucesivas
promediaciones. Existen muchas formas de crecimiento en la naturaleza.
Un cristal perfecto, por ejemplo, crece en las proximidades del equilibrio.
Cuando una molécula intenta acoplarse al cristal en crecimiento
ensaya muchos posibles alojamientos antes de quedar definitivamente acoplada
en un lugar energéticamente favorable. El cristal se forma lentamente,
sin embargo, la mayoría de procesos no pueden permitirse el lujo
de tomarse mucho tiempo. Los fractales como los mostrados en las fotografías
crecen en procesos muy alejados del equilibrio.
El proceso de agregación consiste
en hacer crecer un cúmulo a base de añadir partículas
una por una. De tal forma que, cuando una partícula entra en contacto
con el cúmulo, queda adherida a él sin ensayar ningún
otro emplazamiento. Es un ejemplo extremo de proceso fuera del equilibrio,
puesto que en él no se produce redisposición, ni recolocación
alguna. Si hacemos que las partículas lleguen al cúmulo describiendo
paseos aleatorios (random walks) nos encontramos frente al proceso
denominado DLA. La simulación del proceso mediante ordenador es
extremadamente sencilla. Definimos un recinto reticulado. Para cada celda
definimos su vecinaje cercano, las 8 celdas que la rodean, por ejemplo.
Fijamos inicialmente una partícula o varias. Esta será la
semilla de crecimiento del agregado. Ahora liberamos partículas
que permanecen en movimiento browniano, se mueven al azar por la cuadrícula,
hasta que alcanzan una celda contigua a una partícula fijada, en
cuyo caso también se fijan y sirven para capturar a más partículas.
Podemos entender cualitativamente
alguna de las características del proceso. Se forman aleatoriamente
pequeñas protuberancias y hoyos producidos por fluctuaciones aleatorias
en el comportamiento de las partículas. Son efectos del "ruido".
Una pequeña prominencia producto del azar de la acumulación
de más de una partícula se amplificará. La razón
es que una partícula que se desplaza aleatoriamente tiene mayores
probabilidades de quedar adherida al pico de una prominencia o en sus cercanías,
que en el fondo de un hoyo. Así un apiñamiento al inicio
ligeramente distorsionado se deforma aun más. A este efecto se le
denomina inestabilidad de crecimiento. La interacción del ruido
y crecimiento constituye la fuente de complejidad y riqueza de los cúmulos
de agregación por difusión limitada.
Observa la variación de los
valores de la dimensión de masa y la dimensión del contorno
calculada por el método del compás en los siguientes DLA.
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Fractint tiene incorporada la posibilidad de generar
agregados por difusión limitada (DLA) con el algoritmo descrito
en la página central. El tipo de fractal se denomina Diffusion.
Solo posee un parámetro: Border size.Gracias
a él podemos controlar la densidad del DLA. Type
Central comienza con una semilla en el centro.
Falling comienza
con una línea horizontal y Cavity
con un cuadrado. Aquí tienes algunos ejemplos. Pruébalo.
Border size = 1, Type Central
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Border size = 10, Type Central
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Border size = 50, Type Central
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Border size = 250, Type Falling
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Border size = 250, Type Cavity
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Repasa DLA en:
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