Arboles de Feigenbaum

Los diagramas que vamos a ver ahora se denominan árboles de Feigenbaum o diagramas de bifurcación. Son nuestro primer punto de contacto entre caos y fractales. Seguiremos con nuestra ecuación f: x --> x² + c. Dibujaremos el comportamiento asintótico de las órbitas en función del parámetro c.

	Aquí te presentamos el diagrama de bifurcación total. En el eje de abscisas el parámetro c puede tomar valores del intervalo [-2,1/4]. En el eje vertical representamos para cada c el valor de los puntos atractores x*. Para construir el diagrama basta fijar un c, iterar la ecuación unas 150 veces (transitorio) y a partir de ese momento dibujar los valores obtenidos (puntos del ciclo límite). Se toma entonces otro valor de c y se repite la operación. Comenzando por 0.250 observa que el diagrama muestra una línea simple. Eso indica que, para cada c, al principio le corresponde únicamente un punto fijo. Pasado el transitorio, la órbita de la ecuación cae en un único valor: ....,x_1, x_1, x_1, x_1,...
	Aquí magnificamos la región de la primera bifurcación. Observa que para un determinado valor de c, la línea simple se desdobla formando una horquilla. En esta región a cada valor de c le corresponden dos puntos atractores. Eso significa que la órbita cae en un ciclo de periodo 2: ..., x_1,x_2,x_1,x_2,x_1.x_2,.... Observa que más adelante en c se vuelve a repetir la historia. Para un determinado valor de c, cada uno de los brazos de la horquilla se bifurca en otra nueva horquilla. Eso significa que las órbitas ahora son de periodo 4. Se produce de nuevo una duplicación de período. Ahora las órbitas caen en atractores periódicos de periodo 4: ...,x_1,x_2,x_3,x_4,x_1,x_2,x_3,x_4,x_1,.... La duplicación de períodos sigue produciéndose. Al proceso se le denomina cascada de bifurcaciones. Observa que la longitud del rango en que se produce la bifurcación decrece paulatinamente. Volveremos más adelante a ese hecho.
	Aquí hemos magnificado la horquilla superior. La rama simple que se observa es en realidad la primera rama de la primera bifuración. Observa que la región muestra autosimilaridad con el diagrama inicial. Esta propiedad ocurre a lo largo de las profundidades del diagrama de bifurcación. El diagrama se comporta como un fractal.
	A partir de un cierto valor de c el número de bifurcaciones se hace... ¡infinito! El sistema es caótico. Aquí te mostramos una ampliación de la zona caótica. Observa las regiones blancas. Se denominan ventanas de periodicidad. Para ciertos valores de c dentro del régimen caótico recuperamos de nuevo comportamientos periódicos.
	Aquí tienes un zoom sobre las ventanas periódicas. La estructura de las ventanas repite el régimen de bifurcaciones visto. Ahora sin embargo los períodos se van multiplicando por tres en vez de dos: 3, 6, 12, 24, 48... en vez de 1, 2, 4, 8, 16....
	Esta es la zona central del diagrama anterior. Estamos en una magnificación de 1000. Creo que esto te convencerá de la autosimilaridad del árbol de bifurcaciones. Este es el primer punto de contacto entre caos y fractales. Observa que caos es la denominación de un proceso dinámico. Hemos visto que el árbol de bifurcaciones, que es una forma de representación de información sobre las diversas dinámicas posibles que exhibe un mapa, es fractal. Veamos esto con más detalle en la siguiente página.

@ En Fractint existe toda una familia de fórmulas sobre las que puedes trazar árboles de bifurcación. Su nombre genérico o tipo se denomina bifxxx, donde xxx especificará a que ecuación en concreto se hace referencia. En todas ellas aparecen tres parámetros básicos:

1) Filter Cycles (por defecto es 1000) es el número de iteraciones asignadas al transitorio.
2) Seed Population (por defecto es 0.66) es el valor de la condición inicial x(t=0) para comenzar a iterar.
3) Function y Beta hacen referencia a la función iterada. Ahora veremos algunos ejemplos que precisaran su significado.

Fractint testea la periodicidad de las órbitas. Pero puedes evitarlo con periodicity=no. La definición de tu árbol dependerá entonces
del número de iteraciones que estés dispuesto a soportar.

En los siguientes diagramas de bifurcación fn es una función admitida por Fractint. Explóralos mediante el zoom.


bifurcation P = x_t + c*fn(x_t)*(1-fn(x_t)) Bifurcaciones de Verhulst. Propuesta como modelo poblacional por Verhulst.

biflambda    x_t+1 = c*fn(x_t)*(1-fn(x_t)). Observa que cuando fn( )=ident( ), entonces fn(x)=x y nos encontramos con la versión en números reales de los conjuntos Lambda.

bif+sinpi    x_t+1 = x_t + r*fn(PI*x_t).

bif=sinpi    x_t+1 = c*fn(PI*x_t). Observa que la única diferencia con bif+sinpi es la ausencia del término lineal x_t.

bifstewart   x_t+1 = c*fn(x_t)*fn(x_t) - 1.Una variación propuesta por el gran divulgador científico Ian Stewart. Omite el término lineal x_t de bifurcation.

bifmay       x_t+1=      c*x_t / ((1+x_t)^b). Llamado Mapa de May en honor al ecólogo teórico Robert May. Aquí aparece al potencia b (beta) a la que hacíamos mención.