Algunas curiosas propiedades del Triángulo de Pascal

 

 

 

El Triángulo de Pascal debe su nombre al filósofo y matemático Blaise Pascal (1623-1662). Sin embargo, como en muchos casos matemáticos, su origen es muy anterior. Se tienen referencias que datan del siglo XII en China. De hecho, algunas de sus propiedades ya fueron estudiadas por el matemático chino Yang Hui (siglo XIII), así como el persa Omar Khayyam (siglo XII).

 

Recordemos brevemente su construscción. El triángulo se construye desde la cúspide hacia abajo. El primer elemento es el número 1, formando la fila 0. La  fila 1 está formada por dos elementos, ambos también el número 1. A partir de aquí, la construcción es como sigue: cada fila está formada por un elemento más que la anterior. El elemento primero y último de cada una siempre será el número 1, y cada elemento interior será el número resultado de sumar los dos elementos que se sitúan encima de él y adyacentes en la fila superior.

 

 

 

Pascal's Triangle

 

 

 

Veamos algunas curiosidades:

 

Desarrollo de potencias de binomios

 

La fórmula general del llamado Binomio de Newton está formada por unos coeficientes que coinciden con los elementos de la fila cuyo número de orden es la potencia a la que está elevado el binomio. La fórmula general, recordemos, es:

 

 

Los coeficientes K1, K2 ,K3 ... coinciden con los números de la fila n del triángulo de Pascal.

 

 

Números combinatorios

 

Los números del triángulo de Pascal coinciden con los números combinatorios. El número combinatorio Cn,m representa el número de grupos distintos de m elementos que se pueden formar a partir de n objetos, de forma que cada grupo se diferencie de otro en algún elemento (combinaciones de n elementos tomados de m en m). En nuestra construcción, n representa la fila del elemento y m su lugar dentro de ella. Así, se le puede dar el carácter de fórmula general para saber, sin necesidad de construir todas las filas anteriores, cuál es el número que ocupa un lugar determinado, a la de los números combinatorios:

 

 

Números poligonales

 

Los números poligonales fueron descubiertos/inventados por los pitagóricos. Podemos disponer los números enteros formando figuras geométricas, por ejemplo 3 guijarros se pueden disponer formando un triángulo, 4 forman un cuadrado, etc. Así los pitagóricos construyeron:

 

Los números triangulares (1, 3, 6, 10, 15, ...) son enteros del tipo N = 1 + 2 + 3 + ... + n

Los números cuadrados (1, 4, 9, 16, 25, ...) son enteros del tipo N = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1)

Los números pentagonales (1, 5, 12, 22, ...) son enteros del tipo N = 1 + 4 + 7 + ... +(3n-2)

Los números hexagonales (1, 6, 15, 28, ...) son enteros del tipo N = 1 + 5 + 9 + ... + (4n-3)

Y así sucesivamente.

En general, los números poligonales son enteros del tipo .

Para b=1 tenemos números triangulares, para b=2 cuadrados, para b=3 pentagonales.

 

Observemos que en el triángulo de Pascal, los números triangulares se encuentran en la diagonal que empieza en uno de los extremos de la fila tercera: 1,3,6,10...

 

 

 

 

 

 

 

 

Los números cuadrados se encuentran en el triángulo de Pascal recurriendo a la misma diagonal que en el caso anterior: construimos cada uno sumando dos números triangulares consecutivos. Eso nos proporciona: 1, 4, 9, 16, 25, ...

 

 

 

 

 

De hecho, por este método recurrente podemos construir todos los números poligonales, y en ese sentido están presentes en el triángulo de Pascal.

 

Según conjeturó Fermat, todo número entero puede expresarse mediante la suma de n números n-gonales como máximo. Esta conjetura fue demostrada para los números triangulares y cuadrados por Gauss, mientras que Cauchy consiguió dar finalmente una demostración general.

 

 

El "stick de hockey"

 

Cualquier diagonal que empiece en un extremo del triángulo, y de la longitud que sea, cumple la siguiente propiedad: La suma de todos los números que la integran se encuentran justo debajo del último de ellos, en la diagonal contraria. Con este dibujo se entenderá mejor:

 

 

 

 

 

 

 

Potencias de 11

 

Esta propiedad es un poco más esotérica. Podemos interpretar cada fila como un único número. Si la fila está formada por números de un solo dígito, basta unirlos. En el caso de la fila 2 tenemos:

 

1-2-1  ............................ 121 = 112

 

Cuando los números de la fila constan de más de un dígito, se "reparten" para formar el número final como se observa en el ejemplo siguiente para la fila 5:

 

1-5-10-10-5-1 ........... 1-(5+1)-(0+1)-0-5-1=1-6-1-0-5-1 ............ 161051 = 115

 

 

Números primos

 

Si el primer elemento de una fila es un número primo, todos los números de esa fila serán divisibles por él (menos el 1, claro). Así, en la fila 7: (1 7 21 35 35 21 7 1), los números 7,21 y 35 son divisibles por 7.

 

 

Suma de las filas

 

La suma de los elementos de cualquier fila es el resultado de elevar 2 al número que define a esa fila. Así:

 

20 = 1
21 = 1+1 = 2
22 = 1+2+1 = 4
23 = 1+3+3+1 = 8
24 = 1+4+6+4+1 = 16

 

Sucesión de Fibonacci

 

La serie de Fibonacci puede ser encontrada también en el triángulo de Pascal. Dividiendo al mismo según las líneas que mostramos en el diagrama, los números atrapados entre ellas suman cada uno de los elementos de esta sucesión. Recordemos que esta sucesión (que, por cierto, se construye de manera similar al triángulo de Pascal), es: 1,1,2,3,5,8,13,21,... (an+1 = an + an-1  con a0 = 1, a1  = 1)