Alfombra de Sierpinski y esponja de Menger

   
 
   
Karl Menger (1902-1985)   
  
He aquí la alfombra de Sierpinski (Sierpinski's Carpet) 

  

Ahora las imágenes hablan ya por sí mismas. El proceso de elaboración de la alfombra de Sierpinski es muy semejante a su triángulo . Dividimos un cuadrado de lado unidad inicial en nueve cuadrados idénticos y recortamos el central. Repetimos el proceso en cada iteración. 

En la iteración n-ésima persisten:  

Nn = 8n 

cuadrados. Cada uno con un lado de longitud:  

Ln = (1/3)n 

El área total en la n-ésima iteración será:  

An= Ln2 Nn = (8/9)n 

Así que en el límite de iteraciones tendiendo a infinito, la alfombra de Sierpinski está tan apolillada que su superficie es nula. Esto no parece sorprendente. Al menos hasta que no calculamos su perímetro, que efectivamente es: ¡infinito!  

 Si partimos de un cubo en tres dimensiones y aplicamos un proceso semejante al de la alfombra de Sierpinski , obtendremos la esponja de Menger. En vez de eliminar pequeños cuadrados, eliminamos pequeños cubos. 

Esta esponja es fantástica: ¡su superficie es infinita y su volumen nulo!
@ Ejercicio 5.1: Aquí tienes sucesivas aproximaciones al pentacopo. En su interior está escondido el número aúreo, una constante matemática a la que le dedicaremos más adelante su tiempo. 
¿Sabrías decir a que constante nos referimos? 
Solución 

 

 
@ Ejercicio 5.2 Demuestra que efectivamente el perímetro de la alfombra de Sierpinski es infinito. ¿Puedes calcular para la esponja de Menger el número de cubos, el tamaño de sus lados, su superficie y el volumen en cada iteración? Haz los límites a la iteración infinita.  
Solución 
 
@ Hay proyectos de todo tipo. 
¿Una esponja de Menger con 66.804 tarjetas de presentación? 
 
 
@...o un club de origami del MIT que fabrica gigantescas esponjas de papel? 
 
 
@ Arruga la esponja de Menger con ruido gaussiano.