Curva de Hilbert
   
 
   
David Hilbert (1862-1943)   
  

Dibujemos un cuadrado de lado unidad. Lo dividimos en cuatro partes iguales. Unimos los centros de los cuatro cuadrados como muestra la figura inferior. Volvemos a dividir cada cuadrado en cuatro cuadrados idénticos y unimos de nuevo los centros de todos los cuadrados mediante una sola curva siguiendo el patrón mostrado en el segundo paso de la figurada inferior (Orden 2).  Observemos cómo la curva serpentea comenzando en el cuadrado superior izquierdo y acabando en el cuadrado superior derecho. En la figura alcanzamos la tercera iteración. Con paciencia, repetimos el procedimiento infinitamente. En el límite obtendremos la curva de Hilbert.

La curva tiene la curiosa propiedad de ser una curva continua que pasa por todos los puntos del cuadrado unidad. Pero, si una curva es unidimensional, ¿cómo es posible que llene un espacio bidimensional? ¿Podemos decir entonces que esta curva es también bidimensional? 

A finales del siglo XIX Cantor intentaba encontrar un conjunto infinito de un número de elementos mayor que el intervalo [0, 1]. Parecía obvio que el cuadadro de lado unidad poseía más puntos. Pero de forma contraintuitiva demostró que eran conjuntos del mismo "tamaño". Se disponía entonces de una manera de establecer una biyección entre los puntos de un segmento y un cuadrado, aunque esta función no era continua. Otros matemáticos como Giuseppe Peano y Hilbert desarrollaron funciones continuas del intervalo [0, 1] al cuadrado unidad de modo que se establecieran correspondencias exhaustivas (hay puntos en el cuadrado unidad que poseen más de una imagen en el intervalo unidad), es decir, perdiendo la biyección. Tales funciones se denominaron curvas que llenan el espacio (space-filling curves). ¿Existían correspondencias continuas y biyectivas? ¿Si fuera así el concepto de dimensión quedaría en entredicho?

En 1911 Luitzen Brouwer probó que no existen tales correspondencias, biyectivas y continuas al mismo tiempo. La dimensión era un invariante topológico y no podía ser alterada por deformaciones continuas. Como resultado se llegó a una definición rigurosa de dimensión topológica del espacio. Como veremos en el siguiente capítulo otra línea de razonamiento llevó a otras definiciones de dimensión.

Abajo podemos observar otro ejemplo: la curva de Peano. De hecho, Peano la descubrió en 1891 y Hilbert hizo una variación sobre ella (la curva de Hilbert) un año después.

@ La curva de Hilbert es un caso particular de las curvas que rellenan el espacio ("space filling curves"). Aquí tienes otros ejemplos clásicos:  

 
 
@ Algunos breves comentarios sobre aplicaciones de las curvas que rellenan el espacio. Indaga por tu cuenta los códigos de Gray. 
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@ Si la curva original de Hilbert te parece sorprendente, observa su resultado en tres dimensiones en la página del matemático William Gilbert.  
 
 
@ Podemos construir fractales que rellenan fractales ... ¿Qué te parece esta curva que rellena a la isla de Koch como ejemplo?

 
 
@ Desde una "curiosidad académica" de hace 100 años a una aplicación reciente (SIGGRAPH 1991) para el procesado de imágenes: 
La curva de Hilbert ofrece una alternativa al escaneo de una imagen línea a línea. Esto permite aplicarla para conseguir, por ejemplo, difuminados o degradados de mejor calidad.  Difuminar a lo largo de la curva de Hilbert, que es extremadamente irregular para nuestro sistema sensorial, elimina el problema de la adyacencia de puntos que posee un escaneo en líneas horizontales. Si deseas más detalles pica en la figura.