Waclaw
Sierpinski (1882-1969)
Waclaw Sierpinski, o grande matemático
polaco...estava preocupado por ter perdido uma mala da sua bagagem:
- Não, querido!- disse-lhe a mulher- Estão aqui as seis malas.
- Não pode ser- disse Sierpinski- contei-as várias vezes:
zero, um ,dois, três, quatro, cinco.
John Conway e Richard Guy, O Livro dos Números
El matemático polaco
Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919. Partamos (iteración
n=0) de la superficie de un triángulo equilátero de lado
unidad. Seguidamente (iteración n=1) tomemos los puntos medios de
cada lado y construyamos a partir de ellos un triángulo equilátero
invertido de lado 1/2. Lo recortamos. Ahora (iteración n=2) repetimos
el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos
quedan. Así que recortamos, esta vez, tres triángulos invertidos
de lado 1/4. En la figura animada observamos hasta cinco iteraciones sucesivas.
Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada
triángulo de Sierpinski.
Sierpinski diseñó
este monstruo para demostrar, entre otras cosas, que era posible construir
una curva que se "cruzaba" consigo misma en todos sus puntos ...
Podemos hacer construcciones semejantes al triángulo de Sierpinski
en 3 dimensiones con tetraedros. @
El triángulo de Sierpinski
se puede descomponer en tres figuras congruentes. Cada una de ellas con
exactamente la mitad de tamaño de la original. Si doblamos el tamaño
de una de las partes recuperamos el triángulo inicial. El triángulo
de Sierpinski está formado por tres copias autosimilares
de él mismo. Decimos que es autosimilar.
En realidad la autosimilaridad es
más profunda. Cada una de las copias puede descomponerse a su vez
de tres copias autosimilares (un total de nueve). Y a partir de cualquiera
de ellas, aumentando su tamaño en un factor 4 recuperamos el original.
En general, podemos dividir el triángulo en 3n piezas autosimilares que aumentadas
en un factor 2n
nos devuelven la figura inicial. Este tipo de autosimilaridad a todas las
escalas es el sello identificativo de un fractal.
Esta propiedad ha sido utilizada
con astucia en ingeniería. Un ejemplo reciente son las antenas fractales. El diseño
de antenas se ejecuta en gran medida por tanteo. Muchas antenas están
compuestas por una distribución de pequeñas antenas. Si la
distribución es regular, la antena presenta alto rendimiento y si es
aleatoria ofrece robustez. Parece que un diseño fractal como el de
la figura combina ambas propiedades. En el caso de un solo hilo, siguiendo
una forma fractal, al doblar se consigue empaquetar más hilo en el
mismo espacio y la forma dentada genera capacitancia e inductancia extra.
En este capítulo solo presentamos
ejemplos de fractales estrictamente autosimilares. Como veremos más
adelante esta autosimilaridad puede ser no perfecta, como en el caso del
conjunto de Mandelbrot, o estadística, como en el caso de las costas
terrestres. |
| @ Investiga el triángulo
de Sierpinski en:
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@ Ejercicio
3.1:¿Puedes calcular el número de triángulos en
la n-ésima iteración, la longitud de sus lados
y las sucesivas áreas de las aproximaciones
al triángulo de Sierpinski? ¿Cuál
es el área final?
Solución |
@ Ejercicio 3.2
¿Qué relación existe entre el triángulo de
Pascal (que nos permite calcular fácilmente los números combinatorios)
y el triángulo de Sierpinski?
Solución
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@ Ejercicio 3.3:
¿Sabrías encontrar de nuevo el número de tetraedros,
la longitud de sus aristas, el área y volumen total después
de cada iteración y al ancanzar el límite fractal? Solución
Y una cosa más: observa como la
rotación de los tetraedros componentes a lo largo de uno de sus
bordes acaba mostrándonos como Sierpinski en 3D proyectado se convierte en un plano. ¿Eso
significa que su dimensión es dos?
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@ Recursos didácticos en la página
de Carlos
Fleitas : generación del triángulo de Sierpinski con CABRI,
DERIVE, etc ... |
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Triángulo
de Sierpinski